Forstå den matematiske model, der ligger bag regeringens beslutning om genåbningen af Danmark

TOP-MODELEn matematisk model danner fundament for åbningen af skoler og børnehaver. Illustration: Nicolai Oreskov Westh, Zetland

Vores medlemmer foretrækker at lytte

Zetlands medlemmer kan høre alle vores artikler som lyd - oplæst af skribenterne selv. De fleste foretrækker at lytte i vores app, hvor man får den bedste oplevelse. Men du er velkommen til at lytte med her.

Derfor skal du læse denne artikel

Børn skal igen i skole og børnehave, og den beslutning hviler på en matematisk model. Det er den særlige beregning, regeringen og myndighederne støtter sig til, når de nu åbner op. Men hvad rummer modellen egentlig? Vi er dykket ned i, hvad vi rent faktisk ved om tidens måske vigtigste – og mest fascinerende – regnestykke.

Nu sker det faktisk. Rundtom i landet åbner skoler, børnehaver og vuggestuer igen. Og det fylder af gode grunde virkelig meget i nyhedsbilledet. Hvad der til gengæld ikke fylder helt så meget, er selve grundlaget for den genåbning. Den delvise åbning hviler nemlig i høj grad på én ting: et særligt regnestykke.

Den beslutning, som regeringen har taget, den er begrundet i en matematisk model,” sagde Kåre Mølbak, faglig direktør på Statens Serum Institut, på det pressemøde i Statsministeriet, hvor genåbningen blev annonceret. Så det er ikke gætteværk, det her.”

Det er dén matematiske model, der understøtter, at børn nu – på nye og komplicerede måder – myldrer tilbage i skoler og børnehaver. Dermed rummer modellen et af tidens måske vigtigste, sværeste og mest fascinerende regnestykker. Og derfor må et af tidens måske mest presserende spørgsmål også være: Hvad er det for en model, der er tale om? Hvad er udregningen, der viser, at genåbningen er passende?

Det har vi undersøgt her.

Lad os tage det skridt for skridt. Den matematiske model, som Mølbak og regeringen støtter sig til, er lavet af en særlig ekspertgruppe under Statens Serum Institut. Eksperterne har forskellig baggrund – de kommer blandt andet fra Institut for Matematik og Computer Science på DTU, fra Sundhedsvidenskab og Niels Bohr Institutet på Københavns Universitet, fra Danmarks Statistik og fra Roskilde Universitet. Gruppen består af matematikere, epidemiologer, modelmagere, statistikere, læger og andre.

Vi ved ikke alt om modellen. Langtfra. Selve beregningerne er ikke lagt frem i detaljer. De er også, skal det siges, uhørt komplicerede; lange talrækker med ligninger, formler og datasæt kørt gennem computere.

De udregninger kan ikke bare forklares enkelt. Det svarer til at bede om formlen for, om vi får solskin i morgen,” siger overlæge Robert Skov fra Statens Serum Institut, der står i spidsen for ekspertgruppen bag modellen.

Alligevel er der en hel del, vi faktisk kan sige om den matematiske model. Flere af antagelserne og mekanismerne bag modellen – de grundlæggende principper – kan man godt få adgang til i en udgivelse fra Statens Serum Institut. Og de er dybt interessante at dykke ned i.

Modellen giver sit bud på tre ting. For det første: Hvad betyder genåbningen for smittespredningen? For det andet: Hvordan påvirker den antallet af indlæggelser på hospitalerne? Og det for det tredje: Hvornår vil epidemien toppe, her på kort sigt, som følge af den første del af genåbningen, vi går ind i nu?

Inden vi hopper ned i, hvordan eksperterne kommer frem til de tre resultater, er det vigtigt at slå én ting fast: Regnestykket er fuldt af usikkerheder. Ekspertgruppen understreger det selv, igen og igen, i en rapport om modellen.

Usikkerhederne spænder vidt: Der er meget, vi ikke ved om selve coronavirusset. Vi har stærkt begrænset data, ikke mindst fra Danmark. Og modellen hviler på antagelser om vores alle sammens adfærd – børn og voksnes – selv om vi jo endnu ikke ved, hvordan vi vil opføre os i den nye virkelighed. Desuden er modelstudiet lavet med ekstremt kort tidsfrist. Det betyder, at normal videnskabelig verifikation og validering ikke har kunnet gennemføres. Betydelig usikkerhed,” skriver ekspertgruppen selv.

Så når Kåre Mølbak siger, at det ikke er gætteværk, der ligger bag beslutningen om genåbningen, er det ikke helt rigtigt. Modellen bygger på flere kvalificerede gæt. Ja, de er forskningsbaserede, og der tages højde for usikkerhederne i beregningerne, men det er simpelthen ikke muligt, her under krisen og tidspresset, at lave meget sikre modeller og forudsigelser.

Den store usikkerhed er et vigtigt forbehold, som Robert Skov og de andre eksperter bag modellen nævner talrige gange.

Når det er på plads, hvad går modellen så ud på?

65 %

Så stor en andel af arbejdsstyrken ventes at møde fysisk på deres arbejdsplads efter den nuværende genåbning ifølge modellen. Under nedlukningen var det 50 %.

Vi begynder med smittetrykket. Smittetrykket viser, hvor mange andre mennesker en person smitter. Hvis corona fik helt frit spil, uden nogen nedlukning, ville hver af os smitte 2,5 andre mennesker i snit ifølge ekspertgruppen. Altså: Smittetrykket ville ligge på 2,5. Med det smittetryk går epidemien amok, fordi smitten stiger dramatisk.

Nu under nedlukningen er smittetrykket langt lavere. Det lå på lige under 1 i begyndelsen af april ifølge myndighederne. Det er det tal, model-beregningen, der ligger til grund for genåbningen lige nu, tager udgangspunkt i. (Smittetrykket er siden faldet endnu mere, til 0,6, men det lå altså omkring 1, da beregningen blev lavet, og det er derfor også det tal, vi fokuserer på i artiklen her.) Når hver af os smitter én anden eller lidt færre, løber epidemien ikke løbsk. Det er det, vi ser resultaterne af nu med de lave tal for indlæggelser på intensivafdelingerne.

Modellen skal så beregne, hvad smittetrykket vil stige til, når børnene igen myldrer tilbage i skoler og børnehaver.

Det gør man ved at dele befolkningen op i aldersgrupper. Alle aldersgrupper er med. For eksempel 0-4-årige børn, 30-39-årige voksne og 70-79-årige ældre. For hver aldersgruppe beskriver modellen så kontaktmønstrene under nedlukningen og under genåbningen. Hvor mange andre er børn mellem fem og ni år i kontakt med, før og nu? Kontakten for hver aldersgruppe fordeles mellem fire steder: hjemmet, arbejde, skole/institution og andet.

Et eksempel: Lad os tage én aldersgruppe – børn mellem fem og ni år – og kigge på ét sted – kontakt i skolen. Under nedlukningen er de børns kontakt til alle andre aldersgrupper i skolen af gode grunde 0 procent ifølge modellen. Når skolerne nu åbner for de mindste børn, stiger aktiviteten ifølge modellen til 100 procent i skolerne for de 5-9-årige. Det giver altså et ændret kontaktmønster – øget kontakt og øget smitte.

Man kan nu begynde at udregne det nye smittetryk. Man tager først det samlede antal kontakter fra hver aldersgruppe og ganger det med antallet af smittede i de forskellige aldersgrupper. Og så ganger man med risikoen for smitte per kontakt. Det giver ifølge modellen antallet af nye smittede i hver aldersgruppe.

Lad os illustrere ved at vende tilbage til eksemplet med de yngste skolebørn. De børn kommer nu i kontakt med flere andre børn i skolen – i klasseværelset eller ved gyngerne i skolegården. Kontaktniveauet stiger. Det nye kontaktniveau skal så ganges med antallet af smittede, børnene møder – i skolen, for eksempel, hvor Oscar er begyndt at hoste. Det ganger man så med risikoen for smitte per gang, de møder Oscar, Albert, Vigga eller nogen af de andre i klassen. Og dét regnestykke fører os til det nye smittetryk.

Model-folkene udtrykker det sådan her: Smittetrykket fra de enkelte aldersgrupper antages at være proportionalt med kontaktraten gange antallet af smittede.”

De samme beregninger laver modellen så for alle andre aldersgrupper inden for hver af de fire aktiviteter (hjemmet, arbejdet, skole/institution og andet). Dét giver det samlede nye smittetryk: 1,23. Hver af os vil med genåbningen smitte 1,23 andre.

Det var den første ting, modellen skulle finde ud af. Og husk på, at smittetrykket i dag ligger omkring 1 – så altså en vis stigning i smitte med genåbningen ifølge modellen, men ikke en eksplosion.

Bag den udregning ligger nogle antagelser, og de er vigtige. Det er de antagelser, modellen hviler på. Så hvis de antagelser blev forrykket, ville modellens resultater også ændre sig. Fem af de vigtigste antagelser kommer her:

  1. Eksperterne bag modellen antager, at voksne smitter 35 procent mindre end normalt på grund af den sociale afstand, vi praktiserer for tiden. Det gælder også generelt set efter genåbningen.

  2. Børn ventes ikke at holde fast i den lavere smitteprocent efter genåbningen. Nu ryger børn tilbage til et meget normalt kontaktmønster, siger Robert Skov, overlægen fra ekspertgruppen bag modellen. Børn er børn,” siger Robert Skov. Det samme sagde Kåre Mølbak under genåbnings-pressemødet.

  3. I modellen regner man med, at børn smitter og smittes på samme niveau som andre aldersgrupper. Det bygger blandt andet på et corona-studie fra Kina, og det er en afgørende antagelse. For børns smitterolle er kritisk at forstå”, når nu genåbningen i høj grad handler om dem. Der er en del usikkerhed her. Man ved på den ene side, at børn i institutioner og skoler typisk smitter mere end voksne (for skolebørn fire til seks gange så meget, når det gælder luftvejsinfektioner). På den anden side tyder noget på, at børn måske smitter mindre, når det gælder corona – og desuden er der indført særlige tiltag, der skal mindske smitten (udendørs skole, ekstra håndvask, kortere dage, forskudte klasser). Det trækker i den anden retning. Samme frem og tilbage-afvejning ser vi, når det gælder børns kontaktmønster. Modellen bygger her på engelsk forskning om kontakt i skoler og daginstitutioner. Men det studie kan undervurdere smitten i Danmark, fordi vi herhjemme bruger børnehaver og vuggestuer mere end i England. Det bliver dog ifølge eksperterne opvejet af de nye tiltag i skoler og børnehaver, der skal sænke smitten. Når alle de ting trækkes fra og lægges til, ender modellen igen med at antage, at børn smitter og bliver smittet som voksne. Det er usikkert, og det vil være helt afgørende at holde øje med i den kommende tid.

  4. Når vi åbner igen med skole og vuggestuer, vil folk bruge offentlig transport mere. Det giver flere mennesker uden for hjemmet, og det øger kontakten med andre og dermed smittetrykket. Det bliver ifølge modellen imidlertid opvejet af, at der indsættes flere tog, metroer og busser. De flere mennesker ude bliver fordelt i flere togvogne. Flere mennesker bliver modsvaret af flere tog,” som Robert Skov udtrykker det. Derfor regner ekspertgruppen med, at det nye transportpres ved genåbningen ikke hverken hæver eller sænker smittetrykket – påvirkningen forbliver konstant.

  5. Eksperterne bag model-regnestykket antager også, at corona giver immunitet. De regner med, at immuniteten varer flere år. Der er sparsom viden om det, hvilket modelmagerne også godt ved. De bygger troen om immunitet på studier af SARS-udbruddet i 2003. Immunitet er helt afgørende for, hvor hurtigt smitten kan brede sig – og for, om der på sigt kan opnås flokimmunitet, hvis ikke det sker med en vaccine.

Alle de fem antagelser her er vigtige, og de spiller centrale roller i modellen. Der er også andre antagelser – for eksempel spiller kontakten til særligt sårbare mennesker i befolkningen en rolle, men det er uklart, hvordan den beregning laves.

Under alle omstændigheder indgår alle antagelserne i modellens regnestykke, som vi har set førte frem til det nye smittetryk ved genåbningen: 1,23.

Dét nye smittetryk bruges så til også at beregne de to andre forhold, som modellen skulle give et bud på: Hvordan presset på sygehusene vil udvikle sig, og hvornår epidemien vil toppe her på kort sigt.

Hospitalerne først. Det nye smittetryk vil ifølge modellen føre til, at maksimalt 264 mennesker skal ligge på intensiv afdeling, når presset er størst. Det kan sygehusene godt holde til.

Reelt viser beregningerne et større spænd – det maksimale behov kan svinge mellem 124 og 735 intensive sengepladser. Men modellen betoner det såkaldte median-tal, 264, som antal intensive sengepladser, der ventes højst at blive brug for. Et spænd mellem 124 og 735 kan lyde voldsomt, og det har en forklaring. Spektret er så stort, fordi der er så stor usikkerhed,” siger Joakim Juhl, der har forsket i modelbygning på Harvard Universitet og arbejder med feltet på Aalborg Universitet.

Trods den usikkerhed er konklusionen i modellen altså, at intensivafdelingerne godt kan følge med. Og det er ifølge Kåre Mølbak og andre topfolk fra myndighederne det allervigtigste at måle på. Presset på de intensive sengepladser er altafgørende, for det må ikke stige så meget, at sygehusene ikke kan følge med.

Det fører os til den tredje ting, modellen skulle give sit bud på: Hvornår epidemien topper her under den nuværende genåbning. Modellens bud lyder, at skole- og børnehaveåbningerne vil få epidemien til at toppe mellem starten og midten af maj. Her er presset på sygehusene størst ifølge modellen.

Modellen kan ikke sige noget om, hvor længe epidemien vil vare helt generelt. Og der er kun regnet på den nuværende åbning. Når der åbnes mere senere, vil det selvfølgelig påvirke smittetryk, indlæggelser, og hvornår epidemien topper.

Bonusinfo. Risikoen for at blive smittet ved en samtale er 20 procent af risikoen for smitte ved fysisk kontakt, vurderer ekspertgruppen.

Et smittetryk på 1,23. Et (tåleligt) indlæggelsesmaksimum på intensiv på 264 personer. Og en epidemi, der topper til maj. Det er altså de tre resultater, der er kommet ud af den matematiske model, som Kåre Mølbak henviste til som grundlag for regeringens genåbningsbeslutning. Men det er ikke det samme, som at det nødvendigvis går sådan i virkeligheden. Og det ved eksperterne bag godt.

For eksempel er det altafgørende, at folk bliver ved med at holde social afstand og følge myndighedernes nye hygiejneråd. Hvis ikke det sker, giver modellerne et helt andet resultat – et andet smittetryk, en anden belastning på sygehusene.

Model-folkene har faktisk regnet på social afstand og hygiejne, og det er mærkbart, hvor meget det betyder. Modellerne er, som ekspertgruppen formulerer det, ekstremt følsomme” over for de ting. Overholder vi ikke længere social afstand og udpræget hygiejne, giver det et markant højere smittetryk: 1,7. Altså vil hver person smitte 1,7 andre.

Det lyder måske ikke af så meget mere end de 1,23, modellen viste med social afstand. Men der er en markant forskel på et smittetryk på 1,23 og 1,7, og det kan ses meget tydeligt på presset på de essentielle intensivafdelinger. Modellen har beregnet forskellen, og det ser sådan her ud:

Det er to forskellige verdener.

Så hvor stiller det os? Vi har set, at modellen viste, at genåbningen, vi træder ind i lige nu, sandsynligvis vil føre til et smittetryk og en belastning af sygehusene, som kan håndteres. Vi har også set, at modellen bygger på en stribe vigtige antagelser. Og vi har set, at der er stor usikkerhed, både om antagelserne og resultaterne.

Joakim Juhl, eksperten i modelbygning, peger eksempelvis på mørketallet, hvor mange er reelt smittede, som ikke er testede. Det er stor usikkerhed om det mørketal, og det har betydning for, hvordan modellen fungerer, og hvilke resultater den giver, vurderer han. Det er også en af de ting, ekspertgruppen bag modellen selv nævner som en stor usikkerhed.

Joakim Juhl pointerer, at model-opbygningen ser ret fornuftig ud trods de mange usikkerheder og andre veje, man kunne være gået. Vi ved, at en model aldrig er rigtig. Men er den anvendelig? Det ser sådan ud her,” siger han.

Vi får dog først svar på modellens præcision – og anvendelighed – om noget tid. Presset på sygehusene kan tidligst vurderes om 10-14 dage, pointerer eksperterne bag modellen. Det skyldes, at det i snit tager så lang tid, fra en person bliver smittet, til han eller hun eventuelt skal indlægges. Den fulde effekt af lempelserne vil først kunne ses to til fire uger senere,” skriver ekspertgruppen i sin rapport.

Med andre ord: Først om flere uger ved vi, om modellen bag genåbningen afspejlede virkeligheden. Eller rettere – om den kom tæt nok på.

Bidrag fra Zetlands medlemmer

Ved du, hvorfor Zetland findes?

Vi følger otte enkle principper, der hjælper med at skabe plads til fordybelse og omtanke i en verden, der mangler præcis dét.

– Lea Korsgaard, medstifter og chefredaktør

I dag læser vores medlemmer: